Символический образ динамической системы

Определение и основные понятия

Пусть f : M → M {displaystyle fcolon M o M} является отображением компакта M ⊂ R n {displaystyle Msubset R^{n}} . Рассмотрим конечное покрытие c = m ( 1 ) , . . . , m ( n ) {displaystyle c={m(1),...,m(n)}} компакта M {displaystyle M} . Множество m ( i ) {displaystyle m(i)} назовем ячейкой индекса i {displaystyle i} покрытия c {displaystyle c} . Пусть G {displaystyle G} есть ориентированный граф, имеющий n {displaystyle n} вершин, при этом номер вершины i {displaystyle i} соответствует ячейке m ( i ) {displaystyle m(i)} . Вершины i {displaystyle i} и j {displaystyle j} связаны ориентированным ребром (дугой) i → j {displaystyle i ightarrow j} , если

Так построенный граф G {displaystyle G} называется символическим образом отображения f {displaystyle f} относительно покрытия c {displaystyle c} .

Ориентированный граф однозначно описывается матрицей допустимых переходов Π = ( π i j ) {displaystyle Pi =(pi _{ij})} , где π i j = 1 , {displaystyle pi _{ij}=1,} если существует ориентированная дуга i → j {displaystyle i o j} , иначе π i j = 0 {displaystyle pi _{ij}=0} .
Существование дуги i → j {displaystyle i ightarrow j} гарантирует существование точки x {displaystyle x} в ячейке m ( i ) {displaystyle m(i)} такой, что её образ f ( x ) {displaystyle f(x)} лежит в ячейке m ( j ) {displaystyle m(j)} . Другими словами, дуга i → j {displaystyle i ightarrow j} является «следом» отображения x → f ( x ) , {displaystyle x ightarrow f(x),} где x ∈ m ( i ) ,   f ( x ) ∈ m ( j ) {displaystyle xin m(i),~f(x)in m(j)} . Если дуги i → j {displaystyle i ightarrow j} не существует, то нет точки x ∈ m ( i ) {displaystyle xin m(i)} , образ которой f ( x ) {displaystyle f(x)} находился бы в m ( j ) {displaystyle m(j)} .

В общем случае, никаких ограничений на отображение и покрытие не накладывается. Отображение f {displaystyle f} может быть даже разрывным и не иметь обратного. Однако в приложениях f , {displaystyle f,} как правило, является гомеоморфизмом. Покрытие c {displaystyle c} называется замкнутым, если каждая ячейка является замкнутым множеством. В численных расчетах ячейки выбираются параллелепипедами, которые пересекаются по граням. Если покрытие c {displaystyle c} является разбиением, то ячейки удобно выбирать полуоткрытыми параллелепипедами, а граничные диски приписать к одной из ячеек.

Символический образ отражает глобальную структуру динамической системы { f k , k ∈ Z } {displaystyle {f^{k},,kin {mathbb {Z} }}} . Существует соответствие между орбитами системы и путями на символическом образе. Так, если { x k = f k ( x 0 ) } {displaystyle {x_{k}=f^{k}(x_{0})}} есть орбита дискретной системы, то последовательность { i k |   x k ∈ m ( i k ) } {displaystyle {i_{k}| x_{k}in m(i_{k})}} является (допустимым) путём на символическом образе. Для непрерывных динамических систем символический образ строится для отображения сдвига по траекториям, при этом выбор величины сдвига существенно влияет на результат. Символический образ является инструментом, который позволяет применить кодировку орбит при помощи допустимых последовательностей символов (допустимых слов) из конечного набора (алфавита). В нашем случае символы это вершины (или их номера), а допустимые слова — пути на символическом образе.

Символический образ можно рассматривать как конечную аппроксимацию отображения f {displaystyle f} . Естественно, более мелкое покрытие порождает более точную аппроксимацию. Изучая символический образ, мы можем анализировать динамику системы. С помощью процесса последовательного подразбиения ячеек покрытия можно строить последовательность символических образов и, тем самым, уточнять структурные характеристики системы.

Процедура подразбиения

Пусть c = { m ( i ) } {displaystyle c={m(i)}} есть покрытие M {displaystyle M} и G {displaystyle G} является символическим образом относительно покрытия c {displaystyle c} . Построим новое покрытие n c {displaystyle nc} , которое является подразбиением c {displaystyle c} . Это означает, что каждая ячейка m ( i ) {displaystyle m(i)} является объединением некоторых новых ячеек m ( i , k ) ,   k = 1 , 2 , . . . , {displaystyle m(i,k), k=1,2,...,} то есть

Обычно процедура подразбиения является адаптивной, то есть подразбиваются только те ячейки, которые удовлетворяют определенным условиям. Например, при локализации цепно-рекуррентных множеств подразбиению на шаге k {displaystyle k} подвергаются те ячейки, образы которых пересекались с покрытием на шаге k − 1 {displaystyle k-1} , остальные исключаются из рассмотрения.
Описанный метод успешно применен к решению следующих задач:

Численное построение символического образа

Рассмотрим наиболее простой численный метод построения — точечный. В каждой ячейке m ( i ) {displaystyle m(i)} выберем конечное множество точек n ( i ) {displaystyle n(i)} . Расположение точек может быть случайным или систематическим. Ясно, что объединение образов этих точек f ( n ( i ) ) {displaystyle f(n(i))} является аппроксимацией образа ячейки f ( m ( i ) ) {displaystyle f(m(i))} . Рассмотрим возмущенное уравнение Дуффинга

в области [-2,2] x [-2,2]. Пусть покрытие { m ( i ) } {displaystyle {m(i)}} состоит из замкнутых квадратов размером 0.25 x 0.25. Следовательно, мы имеем 16 x 16=256 ячеек. Нумерация ячеек начинается с левого верхнего угла и заканчивается в правом нижнем углу. Система дифференциальных уравнений является π {displaystyle pi } -периодической по времени t {displaystyle t} . В этом случае динамика системы определяется отображением Пуанкаре f {displaystyle f} , которое есть сдвиг вдоль траекторий на период T = π {displaystyle T=pi } .

Мы можем проверить включение f ( x ) ∈ m ( j ) ,   x ∈ n ( i ) {displaystyle f(x)in m(j), xin n(i)} и фиксировать дугу i → j {displaystyle i ightarrow j} , если это включение имеет место. Повторив описанную процедуру для каждой ячейки покрытия, мы построим символический образ.

Локализация периодических орбит заданного периода

Точка x ∈ M {displaystyle xin M} называется p {displaystyle p} -периодической если f p ( x ) = x {displaystyle f^{p}(x)=x} . Множество p {displaystyle p} -периодических точек обозначим P e r ( p ) {displaystyle Per(p)} . Вершина символического образа G {displaystyle G} называется p {displaystyle p} -периодической, если через неё проходит периодический путь периода p {displaystyle p} . Пусть d {displaystyle d} есть наибольший диаметр ячеек покрытия. Обозначим P ( p , d ) {displaystyle P(p,d)} объединение ячеек m ( i ) {displaystyle m(i)} , для которых соответствующие вершины являются p {displaystyle p} -периодическими, то есть

Следующая теорема описывает связь между p {displaystyle p} -периодическими путями на символическом образе и p {displaystyle p} -периодическими орбитами системы.

Теорема 1

Пусть покрытие c {displaystyle c} является замкнутым, тогда

P e r ( p ) ⊂ P ( p , d ) ⊂ V ,   d < d 0 {displaystyle Per(p)subset P(p,d)subset V,~d<d_{0}} ,

Применим процедуру адаптивного подразбиения. Здесь адаптивность означает, что ячейки, которые соответствуют p {displaystyle p} -периодическим вершинам, подвергаются подразбиению, в то время как остальные ячейки исключаются из рассмотрения.

Алгоритм локализации

Повторяя процесс последовательного измельчения покрытия, мы получаем последовательность окрестностей P 0 {displaystyle P_{0}} , P 1 {displaystyle P_{1}} , P 2 , … {displaystyle P_{2},ldots } множества P e r ( p ) {displaystyle Per(p)} и последовательность диаметров d 0 {displaystyle d_{0}} , d 1 {displaystyle d_{1}} , d 2 , … {displaystyle d_{2},ldots } . Следующая теорема обосновывает описанный алгоритм локализации множества P e r ( p ) {displaystyle Per(p)} .

Теорема 2

Последовательность множеств P 0 , P 1 , P 2 , … {displaystyle P_{0},P_{1},P_{2},ldots } обладает следующими свойствами: