Модуль непрерывности
Для любой функции f {displaystyle f} , определённой на множестве E {displaystyle E} , можно ввести понятие модуля непрерывности этой функции, обозначаемого ω f ( δ ) {displaystyle omega _{f}(delta )} . Модуль непрерывности — тоже функция, по определению равная ω f ( δ ) = sup { | f ( x 1 ) − f ( x 2 ) | : ( x 1 , x 2 ∈ E ) ∧ | x 1 − x 2 | < δ } , {displaystyle omega _{f}(delta )=sup{|f(x_{1})-f(x_{2})|colon (x_{1},;x_{2}in E)land |x_{1}-x_{2}|<delta },}или верхней грани колебания функции по всем подотрезкам из E {displaystyle E} длиной меньше δ {displaystyle delta } . Также в литературе встречаются другие обозначения: ω ( f , δ ) {displaystyle omega (f,;delta )} и (реже) ω ( δ , f ) {displaystyle omega (delta ,;f)} . Свойства модуля непрерывностиВведённая функция обладает рядом интересных свойств.
Связанные понятияМодуль непрерывности оказался тонким инструментом исследования разнообразных свойств функции, таких как:
Вариации и обобщенияМодули непрерывности высших порядковНетрудно заметить, что в определении модуля непрерывности используется конечная разность первого порядка от функции f {displaystyle f} . ω f ( δ ) = sup { | Δ h 1 ( f , x ) | : ( x ∈ E ) ∧ | h | < δ } . {displaystyle omega _{f}(delta )=sup{|Delta _{h}^{1}(f,;x)|colon (xin E)land |h|<delta }.}Если вместо конечной разности первого порядка взять конечную разность порядка n {displaystyle n} , то получим определение модуля непрерывности порядка n {displaystyle n} . Обычное обозначение для таких модулей — ω n ( f , δ ) {displaystyle omega _{n}(f,;delta )} . Свойства
Неклассические модули непрерывностиИзвестно много разных обобщений понятия модуля непрерывности. Например, можно заменить оператор конечной разности другим разностным оператором с произвольными коэффициентами. Можно разрешить этим коэффициентам быть непостоянными и меняться в зависимости от точки, где берётся этот разностный оператор. Можно разрешить и шагу, с которым берётся разностный оператор также зависеть от точки. Подобные неклассические модули непрерывности находят своё применение в различных областях современной математики. |