Целочисленный треугольник
|
Целочисленный треугольник — это треугольник, длины всех сторон которого выражаются целыми числами. Рациональный треугольник можно определить как треугольник, стороны которого являются рациональными числами. Любой рациональный треугольник можно привести к целочисленному (умножив все стороны на одно и то же число, наименьшее общее кратное знаменателей), так что нет существенной разницы между целочисленными и рациональными треугольниками. Заметим, однако, что существуют и другие определения «рационального треугольника». Так, в 1914 Кармайкл использовал этот термин для обозначения того, что мы теперь называем героновым треугольником. Сомос (Somos) использует термин для треугольников, отношения сторон которого являются рациональными числами. Конвей и Гай определяют рациональный треугольник как треугольник с рациональными сторонами и углами (в градусах) — в этом случае рациональными будут только равносторонние треугольники с рациональными сторонами. У целочисленных треугольников есть несколько общих свойств (см. первый раздел ниже). Все остальные разделы посвящены целочисленным треугольникам со специфичными свойствами. Основные свойства целых треугольниковЦелочисленные треугольники с заданным периметромЛюбая тройка положительных чисел может стать сторонами треугольника, необходимо лишь удовлетворение неравенства треугольника — самая длинная сторона должна быть короче суммы двух других сторон. Каждая такая тройка задаёт единственный (с точностью до конгруэнтности) треугольник. Так что число целочисленных треугольников с периметром p равно числу разбиений p на три положительные части, удовлетворяющие неравенству треугольника. Эти числа являются ближайшими к p2⁄48 для чётных p и к (p + 3)2⁄48 для нечётных. Это также означает, что число целочисленных треугольников с чётным периметром p = 2n равно числу с нечётным периметром p = 2n — 3. Таким образом, нет треугольников с периметрами 1, 2 и 4, имеется по одному с периметрами 3, 5, 6 и 8, и по два с периметрами 7 и 10. Последовательность числа целочисленных треугольников с периметрами p, начиная с p = 1: 0, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 4, 3, 5, 4, 7, 5, 8, 7, 10, 8 … (последовательность A005044 в OEIS)Целочисленные треугольники с заданной большей сторонойЧисло целочисленных треугольников (с точностью до конгруэнции[неизвестный термин]) с заданной наибольшей стороной c равно числу троек (a, b, c), таких, что a + b > c и a ≤ b ≤ c. Это значение равно Ceiling[(c + 1)⁄2] * Floor[(c + 1)⁄2]. Для чётных c это равно удвоенному треугольному числу c⁄2(c⁄2 + 1), а для нечётных c это равно квадрату (c + 1)2⁄4. Это означает, что число целочисленных треугольников с наибольшей стороной c превышает число целочисленных треугольников с наибольшей стороной c−2 на c. Последовательность числа неконгруэнтных целочисленных треугольников с наибольшей стороной c, начиная с c = 1: 1, 2, 4, 6, 9, 12, 16, 20, 25, 30, 36, 42, 49, 56, 64, 72, 81, 90 … (последовательность A002620 в OEIS)Число целочисленных треугольников (с точностью до конгруэнции) с данной наибольшей стороной c, вершины которого лежат на или внутри полуокружности диаметра c, равно числу троек (a, b, c), таких, что a + b > c , a2 + b2 ≤ c2 и a ≤ b ≤ c. Это число совпадает с числом целочисленных треугольников с тупым или прямым углом с наибольшей стороной c. Последовательность числа таких треугольников, начинающаяся с c = 1: 0, 0, 1, 1, 3, 4, 5, 7, 10, 13, 15, 17, 22, 25, 30, 33, 38, 42, 48 … (последовательность A236384 в OEIS)Разница между последними двумя последовательностями даёт число целочисленных треугольников с острыми углами (с точностью до конгруэнции) с наибольшей стороной c. Последовательность числа остроугольных треугольников, начиная с c = 1: 1, 2, 3, 5, 6, 8, 11, 13, 15, 17, 21, 25, 27, 31, 34, 39, 43, 48, 52 … (последовательность A247588 в OEIS)Площадь целочисленного треугольникаПо формуле Герона, если T — площадь треугольника, а длины сторон равны a, b и c, то 4 T = ( a + b + c ) ( a + b − c ) ( a − b + c ) ( − a + b + c ) . {displaystyle 4T={sqrt {(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}}.}Поскольку все множители под знаком корня в правой части формулы являются целыми числами, все целочисленные треугольники должны иметь целочисленное значение величины 16T2. Углы целочисленного треугольникаПо теореме косинусов любой угол целочисленного треугольника имеет рациональный косинус. Если углы любого треугольника образуют арифметическую прогрессию, то один из его углов должен быть 60°. Для целочисленных треугольников оставшиеся углы должны также иметь рациональные косинусы и метод генерации таких треугольников приведён ниже. Однако, за исключением тривиального случая равностороннего треугольника, не существует целочисленных треугольников, углы которого образуют геометрическую или гармоническую прогрессию. Это потому, что углы должны быть рациональными углами вида πp⁄q с рациональными 0 < p⁄q < 1. Но все углы целочисленных треугольников должны иметь рациональные косинусы, а это может произойти только в случае, когда p⁄q = 1⁄3 , то есть целочисленный треугольник является равносторонним. Деление стороны высотойЛюбая высота, опущенная из вершины на противоположную сторону или её продолжение, делит эту сторону (или продолжение) на отрезки рациональной длины. Треугольники ГеронаОбщая формулаГеронов треугольник — это треугольник с целочисленными сторонами и целочисленной площадью. Любой геронов треугольник имеет стороны, пропорциональные . a = n ( m 2 + k 2 ) {displaystyle a=n(m^{2}+k^{2})} , b = m ( n 2 + k 2 ) {displaystyle b=m(n^{2}+k^{2})} , c = ( m + n ) ( m n − k 2 ) {displaystyle c=(m+n)(mn-k^{2})} , Полупериметр = m n ( m + n ) {displaystyle =mn(m+n)} , Площадь = m n k ( m + n ) ( m n − k 2 ) {displaystyle =mnk(m+n)(mn-k^{2})} ,для целых m, n и k, удовлетворяющих условиям gcd ( m , n , k ) = 1 {displaystyle gcd {(m,n,k)}=1} , m n > k 2 ≥ m 2 n / ( 2 m + n ) {displaystyle mn>k^{2}geq m^{2}n/(2m+n)} m ≥ n ≥ 1 {displaystyle mgeq ngeq 1} .Множитель пропорции для треугольников в общем случае является рациональным числом p q {displaystyle {frac {p}{q}}} , где q = gcd ( a , b , c ) {displaystyle q=gcd {(a,b,c)}} сокращает сгенерированный геронов треугольник к примитивному, а p {displaystyle p} растягивает этот примитивный треугольник до требуемого размера. Пифагоровы треугольникиПифагоров треугольник — это прямоугольный геронов треугольник и его три стороны известны как пифагорова тройка. Все примитивные (не имеющие общего множителя) пифагоровы тройки ( a , b , c ) {displaystyle (a,b,c)} с гипотенузой c {displaystyle c} можно получить с помощью формул a = m 2 − n 2 {displaystyle a=m^{2}-n^{2}} , b = 2 m n {displaystyle b=2mn} , c = m 2 + n 2 {displaystyle c=m^{2}+n^{2}} , Полупериметр = m ( m + n ) {displaystyle =m(m+n)} , Площадь = m n ( m 2 − n 2 ) {displaystyle =mn(m^{2}-n^{2})} ,где m и n взаимно простые целые и одно из них чётно, при этом m > n. Пифагоровы треугольники с целой высотой, опирающейся на гипотенузуНи в каком примитивном пифагоровом треугольнике высота, опирающуюся на гипотенузу, не выражается целым числом. Однако существуют непримитивные пифагоровы треугольники такого вида. Все пифагоровы треугольники с катетами a и b, гипотенузой c, и целой высотой d {displaystyle d} , опущенной на гипотенузу, которые необходимо будут удовлетворять равенствам a 2 + b 2 = c 2 {displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}} и 1 a 2 + 1 b 2 = 1 d 2 {displaystyle { frac {1}{a^{2}}}+{ frac {1}{b^{2}}}={ frac {1}{d^{2}}}} , генерируются формулами a = ( m 2 − n 2 ) ( m 2 + n 2 ) {displaystyle a=(m^{2}-n^{2})(m^{2}+n^{2})} , b = 2 m n ( m 2 + n 2 ) {displaystyle b=2mn(m^{2}+n^{2})} , c = ( m 2 + n 2 ) 2 {displaystyle c=(m^{2}+n^{2})^{2}} , d = 2 m n ( m 2 − n 2 ) {displaystyle d=2mn(m^{2}-n^{2})} , Полупериметр= = m ( m + n ) ( m 2 + n 2 ) {displaystyle =m(m+n)(m^{2}+n^{2})} , Площадь= = m n ( m 2 − n 2 ) ( m 2 + n 2 ) 2 {displaystyle =mn(m^{2}-n^{2})(m^{2}+n^{2})^{2}} ,для взаимно простых чисел m, n с m > n. Более того, из любого пифагорова треугольника с катетами x, y и гипотенузой z можно получить другой пифагоров треугольник с целой высотой d на гипотенузу c по формуле ( a , b , c , d ) = ( x z , y z , z 2 , x y ) . {displaystyle (a,b,c,d)=(xz,yz,z^{2},xy).}Героновы треугольники со сторонами в арифметической прогрессииТреугольник с целочисленными сторонами и целочисленной площадью имеет стороны в арифметической прогрессии в том и только в том случае, когда стороны равны (b — d, b, b + d), где b = 2 ( m 2 + 3 n 2 ) / g {displaystyle b=2(m^{2}+3n^{2})/g} , d = ( m 2 − 3 n 2 ) / g {displaystyle d=(m^{2}-3n^{2})/g} ,и где g является наибольшим общим делителем чисел m 2 − 3 n 2 , {displaystyle m^{2}-3n^{2},} 2 m n {displaystyle 2mn} и m 2 + 3 n 2 . {displaystyle m^{2}+3n^{2}.} Героновы треугольники с одним углом вдвое большим другогоВсе героновы треугольники с B=2A генерируются либо формулами a = k 2 ( s 2 + r 2 ) 2 4 {displaystyle a={ frac {k^{2}(s^{2}+r^{2})^{2}}{4}}} , b = k 2 ( s 4 − r 4 ) 2 {displaystyle b={ frac {k^{2}(s^{4}-r^{4})}{2}}} , c = k 2 ( 3 s 4 − 10 s 2 r 2 + 3 r 4 ) 4 {displaystyle c={ frac {k^{2}(3s^{4}-10s^{2}r^{2}+3r^{4})}{4}}} , Площадь = k 2 c s r ( s 2 − r 2 ) 2 {displaystyle ={ frac {k^{2}csr(s^{2}-r^{2})}{2}}} ,с целыми k, s, r, такими, что s2 > 3r2, либо формулами a = q 2 ( u 2 + v 2 ) 2 4 {displaystyle a={ frac {q^{2}(u^{2}+v^{2})^{2}}{4}}} , b = q 2 u v ( u 2 + v 2 ) {displaystyle b=q^{2}uv(u^{2}+v^{2})} , c = q 2 ( 14 u 2 v 2 − u 4 − v 4 ) 4 {displaystyle c={ frac {q^{2}(14u^{2}v^{2}-u^{4}-v^{4})}{4}}} , Площадь = q 2 c u v ( v 2 − u 2 ) 2 {displaystyle ={ frac {q^{2}cuv(v^{2}-u^{2})}{2}}} ,с целыми q, u, v, такими, что v > u и v2 < (7+4√3)u2. Никакой геронов треугольник с B = 2A не является равнобедренным или прямоугольным. Равнобедренные героновы треугольникиВсе равнобедренные героновы треугольники получается умножением на рациональное число сторон a = 2 ( u 2 − v 2 ) {displaystyle a=2(u^{2}-v^{2})} , b = u 2 + v 2 {displaystyle b=u^{2}+v^{2}} , c = u 2 + v 2 {displaystyle c=u^{2}+v^{2}} ,для взаимно простых целых u и v с u>v. Героновы треугольники как грани тетраэдраСуществуют тетраэдры, имеющие целочисленный объём и героновы треугольники в качестве граней. В качестве примера — тетраэдр с ребром 896, противоположным ребром 190, а оставшиеся два ребра по 1073. Две грани этого тетраэдра имеют площадь 436800, две другие — 47120, а объём равен 62092800. Свойства треугольников Герона
Целочисленные треугольники на двумерной решёткеДвумерная решётка — это правильный массив изолированных точек, в которой при выборе одной точки в качестве начала координат (0, 0) все остальные точки будут иметь вид (x, y), где x и y пробегают по всем положительным и отрицательным целым числам. Треугольник на решётке — это любой треугольник, вершины которого являются точками решётки. По формуле Пика треугольник на решётке имеет рациональную площадь, которая либо является целым числом, либо имеет в знаменателе 2. Если треугольник на решётке имеет целые стороны, то он является героновым треугольником . Более того, было показано, что все героновы треугольники можно нарисовать на решётке . Следовательно, можно утверждать, что целочисленный треугольник является героновым тогда и только тогда, когда его можно нарисовать на решётке. Целочисленные треугольники со специфичными свойствами угловЦелочисленные треугольники с рациональной биссектрисойСемейство треугольников с целочисленными сторонами a , b , c {displaystyle a,b,c} и рациональной биссектрисой d {displaystyle d} угла A задаётся уравнениями a = 2 ( k 2 − m 2 ) {displaystyle a=2(k^{2}-m^{2})} , b = ( k − m ) 2 {displaystyle b=(k-m)^{2}} , c = ( k + m ) 2 {displaystyle c=(k+m)^{2}} , d = 2 k m ( k 2 − m 2 ) k 2 + m 2 {displaystyle d={ frac {2km(k^{2}-m^{2})}{k^{2}+m^{2}}}} ,с целыми k > m > 0 {displaystyle k>m>0} . Целочисленные треугольники с целыми n-делителями всех угловСуществуют треугольники, в которых три стороны и все три биссектрисы являются целыми числами . Существуют треугольники, в которых три стороны и две трисектрисы каждого угла являются целыми числами. Однако для n>3 не существует треугольников с целочисленными сторонами, в котором (n-1) n-сектрис каждого угла являются целыми числами. Целочисленные треугольники с одним углом, имеющим рациональный косинусНекоторые целочисленные треугольники с углом в вершине A, имеющим рациональный косинус h/k (h<0 или >0; k>0), задаются формулами a = p 2 − 2 p q h + q 2 k 2 {displaystyle a=p^{2}-2pqh+q^{2}k^{2}} , b = p 2 − q 2 k 2 {displaystyle b=p^{2}-q^{2}k^{2}} , c = 2 q k ( p − q h ) {displaystyle c=2qk(p-qh)} ,где p и q являются взаимно простыми положительными целыми числами, для которых p>qk. Целочисленные треугольники с углом 60° (углы в арифметической прогрессии)У всех целочисленных треугольников с углом 60° углы образуют арифметическую прогрессию. Все такие треугольники подобны треугольникам a = 4 m n {displaystyle a=4mn} , b = 3 m 2 + n 2 {displaystyle b=3m^{2}+n^{2}} , c = 2 m n + | 3 m 2 − n 2 | {displaystyle c=2mn+|3m^{2}-n^{2}|} ,со взаимно простыми целыми m, n и 1 ≤ n ≤ m или 3m ≤ n. Все примитивные решения можно получить, разделив a, b и c на наибольший общий делитель. Целочисленные треугольники с углом 60° можно получить по формулам a = m 2 − m n + n 2 {displaystyle a=m^{2}-mn+n^{2}} , b = 2 m n − n 2 {displaystyle b=2mn-n^{2}} , c = m 2 − n 2 {displaystyle c=m^{2}-n^{2}} ,со взаимно простыми целыми m, n и с 0 < n < m (угол 60° противоположен стороне длиной a). Все примитивные решения можно получить, разделив a, b и c на наибольший общий делитель (например, равносторонние треугольники можно получить при m = 2 и n = 1, но это даёт a = b = c = 3, а это не примитивное решение). См. также Burn 2003,Read 2006. Тройка Эйзенштейна — это набор целых чисел, которые являются сторонами треугольника, и один из углов этого треугольника равен 60 градусам. Целочисленные треугольники с одним углом 120°Целочисленные треугольники с углом 120° можно получить с помощью формул a = m 2 + m n + n 2 {displaystyle a=m^{2}+mn+n^{2}} , b = 2 m n + n 2 {displaystyle b=2mn+n^{2}} , c = m 2 − n 2 {displaystyle c=m^{2}-n^{2}}со взаимно простыми целыми m, n и 0 < n < m (угол 120° противоположен стороне длиной a). Все примитивные решения можно получить, разделив a, b и c на наибольший общий делитель (например, при m = 4 и n = 1 получаем a = 21, b = 9 и c = 15, и это решение не примитивно, но из него можно получить примитивное решение a = 7, b = 3 и c = 5, разделив на 3. Но это же решение можно получить, приняв m = 2 и n = 1). См. также Burn 2003,Read 2006. Целочисленные треугольники с одним углом, равным другому углу с любым рациональным коэффициентомДля положительных взаимно простых целых h и k треугольник со сторонами, заданными формулами ниже, имеет углы h α {displaystyle halpha } , k α {displaystyle kalpha } и π − ( h + k ) α {displaystyle pi -(h+k)alpha } , а потому углы находятся в отношении h : k, при этом стороны треугольника являются целыми числами: a = q h + k − 1 sin h α sin α = q k ⋅ ∑ 0 ≤ i ≤ h − 1 2 ( − 1 ) i ( h 2 i + 1 ) p h − 2 i − 1 ( q 2 − p 2 ) i , {displaystyle a=q^{h+k-1}{frac {sin halpha }{sin alpha }}=q^{k}cdot sum _{0leq ileq {frac {h-1}{2}}}(-1)^{i}{inom {h}{2i+1}}p^{h-2i-1}(q^{2}-p^{2})^{i},} b = q h + k − 1 sin k α sin α = q h ⋅ ∑ 0 ≤ i ≤ k − 1 2 ( − 1 ) i ( k 2 i + 1 ) p k − 2 i − 1 ( q 2 − p 2 ) i , {displaystyle b=q^{h+k-1}{frac {sin kalpha }{sin alpha }}=q^{h}cdot sum _{0leq ileq {frac {k-1}{2}}}(-1)^{i}{inom {k}{2i+1}}p^{k-2i-1}(q^{2}-p^{2})^{i},} c = q h + k − 1 sin ( h + k ) α sin α = ∑ 0 ≤ i ≤ h + k − 1 2 ( − 1 ) i ( h + k 2 i + 1 ) p h + k − 2 i − 1 ( q 2 − p 2 ) i , {displaystyle c=q^{h+k-1}{frac {sin(h+k)alpha }{sin alpha }}=sum _{0leq ileq {frac {h+k-1}{2}}}(-1)^{i}{inom {h+k}{2i+1}}p^{h+k-2i-1}(q^{2}-p^{2})^{i},}где α = cos − 1 p q {displaystyle alpha =cos ^{-1}{frac {p}{q}}} и p, q являются взаимно простыми числами, для которых cos π h + k < p q < 1 {displaystyle cos {frac {pi }{h+k}}<{frac {p}{q}}<1} . Целочисленные треугольники с одним углом, вдвое большим другогоДля угла A, противоположного стороне a {displaystyle a} , и угла B, противоположного стороне b {displaystyle b} , некоторые треугольники с B=2A задаются формулами a = n 2 {displaystyle a=n^{2}} , b = m n {displaystyle b=mn} , c = m 2 − n 2 {displaystyle c=m^{2}-n^{2}}с целыми m, n, такими, что 0 < n < m < 2n. Заметим, что для всех треугольников с B = 2A (с целочисленными сторонами или нет) выполняется a ( a + c ) = b 2 {displaystyle a(a+c)=b^{2}} . Целочисленные треугольники с одним углом, равным 3/2 другогоКласс эквивалентности подобных треугольников с B = 3 2 A {displaystyle B={ frac {3}{2}}A} задаётся формулами a = m n 3 {displaystyle a=mn^{3}} , b = n 2 ( m 2 − n 2 ) {displaystyle b=n^{2}(m^{2}-n^{2})} , c = ( m 2 − n 2 ) 2 − m 2 n 2 {displaystyle c=(m^{2}-n^{2})^{2}-m^{2}n^{2}}с целыми m , n {displaystyle m,n} , такими, что 0 < φ n < m < 2 n {displaystyle 0<varphi n<m<2n} , где φ {displaystyle varphi } является золотым сечением φ = 1 + 5 2 ≈ 1.61803 {displaystyle varphi ={frac {1+{sqrt {5}}}{2}}approx 1.61803} . Заметим, что для всех треугольников с B = 3 2 A {displaystyle B={ frac {3}{2}}A} (с целочисленными сторонами или нет) выполняется ( b 2 − a 2 ) ( b 2 − a 2 + b c ) = a 2 c 2 {displaystyle (b^{2}-a^{2})(b^{2}-a^{2}+bc)=a^{2}c^{2}} . Целочисленные треугольники с одним углом втрое большим другогоМы можем получить все треугольники, удовлетворяющие соотношению углов B=3A, с помощью формул a = n 3 {displaystyle a=n^{3}} , b = n ( m 2 − n 2 ) {displaystyle b=n(m^{2}-n^{2})} , c = m ( m 2 − 2 n 2 ) {displaystyle c=m(m^{2}-2n^{2})} ,где m {displaystyle m} и n {displaystyle n} являются целыми числами, для которых 2 n < m < 2 n {displaystyle {sqrt {2}}n<m<2n} . Заметим, что для всех треугольников с B = 3A (с целочисленными сторонами или нет) выполняется a c 2 = ( b − a ) 2 ( b + a ) {displaystyle ac^{2}=(b-a)^{2}(b+a)} . Целочисленные треугольники с целым отношением радиусов описанной и вписанной окружностейУсловие для целочисленного треугольника иметь целочисленное отношение N радиуса описанной окружности к радиусу вписанной известно в терминах эллиптических кривых. Наименьший случай, равносторонний треугольник, имеет N=2. Во всех известных случаях N ≡ 2 (mod 8), то есть N-2 делится на 8. Некоторые целочисленные треугольники
|
