Теорема Крылова — Боголюбова
Теорема Крылова — Боголюбова — утверждает существование инвариантных мер у «хороших» отображений, определённых на «хороших» пространствах. Существуют две вариации теоремы, для динамических систем и для марковских процессов Теорема доказана математиком Н. М. Крыловым и физиком-теоретиком, математиком Н. Н. Боголюбовым. (переиздано в). Динамическая формулировкаПусть F {displaystyle F} — непрерывное отображение метрического компакта X {displaystyle X} в себя. Тогда на X {displaystyle X} существует хотя бы одна F {displaystyle F} -инвариантная мера μ {displaystyle mu } которая может быть выбрана таким образом, что она будет неразложимой, или эргодической. Замечания
ДоказательствоДоказательство теоремы опирается на так называемую процедуру Крылова — Боголюбова — процедуру выделения сходящейся подпоследовательности из последовательности временных средних произвольной начальной меры. А именно, берётся произвольная начальная мера μ 0 {displaystyle mu _{0}} , и рассматривается последовательность её временных средних: μ ¯ n = 1 n ∑ j = 0 n − 1 F ∗ j ( μ 0 ) . {displaystyle {ar {mu }}_{n}={frac {1}{n}}sum _{j=0}^{n-1}F_{*}^{j}(mu _{0}).}Временные средние являются всё более и более F {displaystyle F} -инвариантными: F ∗ μ ¯ n = μ ¯ n + 1 n ( F ∗ n ( μ 0 ) − μ 0 ) . {displaystyle F_{*}{ar {mu }}_{n}={ar {mu }}_{n}+{frac {1}{n}}(F_{*}^{n}(mu _{0})-mu _{0}).}Поэтому предел любой сходящейся подпоследовательности последовательности временных средних является инвариантной мерой для отображения F {displaystyle F} . Но пространство вероятностных мер на метрическом компакте F {displaystyle F} компактно (в смысле *-слабой топологии), поэтому по меньшей мере одна точка накопления у последовательности μ ¯ n {displaystyle {ar {mu }}_{n}} найдётся — что и завершает доказательство. ■ Замечания
Формулировка для марковских процессовПусть X — польское пространство и пусть (Pt) — семейство вероятностей перехода некоторой однородной марковской полугруппы на X, то есть Pr [ X t ∈ A | X 0 = x ] = P t ( x , A ) . {displaystyle Pr[X_{t}in A|X_{0}=x]=P_{t}(x,A).}Если существует x ∈ X {displaystyle xin X} , для которого семейство вероятностных мер { Pt(x, ·) | t > 0 } uniformly tight и полугруппа (Pt) удовлетворяет Feller property, то существует по крайней мере одна инвариантная мера для (Pt), то есть такая вероятностная мера μ на X, что ( P t ) ∗ ( μ ) = μ , ∀ t > 0. {displaystyle (P_{t})_{ast }(mu )=mu ,quad forall t>0.}Вариации и обобщения
|