Накопление погрешностей в подземных теодолитных ходах
|
При прокладке теодолитных ходов координаты пунктов подземного полигона вычисляются с определенными допускаемыми погрешностями и не соответствуют их истинному положению в пространстве. C увеличением числа измеренных углов и сторон хода происходит накопление погрешностей, т. е. по мере удаления точек теодолитного хода от его начала возрастают погрешности их положения относительно начальной стороны хода. Погрешность положения конечной точки свободного полигона по осям координат. Допустим, что имеем свободный подземный полигон, проложенный из начальной твердой точки I (рис. IV.44). Исходный дирекционный угол αII-I получен независимо от выполненного теодолитного хода 1—1—2—, ..., —N. В полигоне измерены левые по ходу углы βi и определены горизонтальные проекции сторон Si.  Относительно точки I определим общую погрешность координат конечной точки N свободного полигона, опирающегося на сторону II—I с твердыми координатами и дирекционным углом αII-I. Погрешность координат точки N складывается из погрешностей измерения горизонтальных углов и длин сторон хода Так как измерение углов производится независимо от измерения длин сторон хода, то погрешности координат в зависимости от Mxβ, Myβ и Mxc, Mys могут быть определены раздельно, а затем вычислены общие погрешности координат точки N по формулам:  Общая погрешность положения точки N на плане в зависимости от погрешностей измерения углов и длин сторон будет равна  Определение Мхβ, Myβ и Mβ произведем графическим путем. Предположим, что угол (см. рис. IV.44) измерен со средней квадратической погрешностью mβ1. В этом случае полигон 1—2, ..., — N повернется на угол mβ1 вокруг точки 1 и точка N займет положение N'. Из прямоугольного треугольника 1NN' найдем величину перемещения точки N  Так как при малых углах tgβ = β''/ρ'', то будем иметь NN' = mβ1/p R1. При этом перемещение точки N по осям х и у будет равно  где R1у и R1х — проекции на оси координат кратчайшего расстояния R1 от вершины полигона 1 до точки N; ρ" — радиан (206265"). При равноточных измерениях горизонтальных углов, т. е. при  для любого измеренного угла с погрешностью mβi можно записать, что смещение точки N по осям Ox и Oy составит  В целом перемещение точки N по осям х и у от влияния случайных погрешностей измерения всех углов будет равно  Найдем погрешности координат конечного пункта свободного теодолитного хода Mxs2 и Мys2, обусловленные погрешностями измерения длин. Погрешности Мxs и Мys складываются из случайных и систематических погрешностей измерения каждой стороны полигона. Следовательно,  где Мxsсл и Муsсл — погрешности координат конечной точки свободного полигона в зависимости от влияния случайных погрешностей измерения длин; Mxsсист и Мysсист — погрешности координат конечной точки свободного полигона в зависимости от влияния систематических погрешностей измерения длин. Значения случайных составляющих Mxsсл2 и Муsсл2 при вычислении Msx2 и Мys2 можно определить по формулам:  Под влиянием систематической погрешности измерения длины каждая i-я вершина хода перемещается по прямой линии Li, соединяющей i-ю вершину с начальной точкой 1. Тогда для конечной точки JV погрешности по осям координат составят:  где LNx и LNy — проекции замыкающей LN на ось абсцисс и ординат. Использовав формулы (IV.63) и (IV.64), запишем:  Тогда общая погрешность координат точки N, вызванная погрешностями линейных измерений, выразится  С помощью формул (IV.61) и (IV.65) запишем формулы погрешности положения конечной точки N свободного полигона по осям координат:  Погрешность положения пункта свободного полигона по заданному направлению и направлению, ему перпендикулярному. В маркшейдерской практике довольно часто возникают задачи определения погрешностей положения пунктов свободного полигона по ответственному направлению. Например, при проведении выработки в сторону ранее отработанных участков, необходимо знать погрешность положения забоя по направлению проводимой выработки (рис. IV.45). При проходке выработок встречными забоями нас интересует величина погрешности несмыкания забоев в направлении, перпендикулярном оси проводимой выработки.  Для решения данных задач может быть использована формула (IV.66), так как при ее выводе не было наложено каких-либо ограничений на выбор направления осей координат х и у. Это позволяет задавать направления х и у по своему усмотрению. Для вычисления погрешности положения конечной точки полигона по заданному направлению будем считать, что ось х' прямоугольной системы координат совмещена с направлением проведения выработки CD (см. рис. IV.45) или расположена перпендикулярно направлению AB выработки, проводимой встречными забоями (рис. IV.46).  Обозначим выбранную условную систему координат через х' и у', чтобы не путать ее с системой координат х и у, принятой для составления планов. В соответствии с формулой (IV.67) погрешность положения забоя по заданному направлению может быть представлена так:  где Riy' — проекция расстояния от вершины i до конечной точки полигона на направление, перпендикулярное тому, по которому определяется погрешность Mx'; αi' — угол, составленный линией si с направлением, по которому определяется Мx'; Lx' — проекция замыкающей L на ось х', т. е. на направление, относительно которого определяется Mx'. Величины Ry', si cos2 αi' и Lx' чаще всего определяют графическим путем. Средняя погрешность дирекционного угла любой стороны свободного теодолитного хода. Дирекционный угол n-й стороны теодолитного хода вычисляется по формуле  где α0 — дирекционный угол исходной стороны хода; β1, β2, ..., βn — измеренные углы хода. Обозначим: mβ1, mβ2, ..., mβn — средние погрешности измеренных углов; mαn — средняя погрешность дирекционного угла n-й стороны хода; mα0 — средняя погрешность дирекционного угла исходной стороны. Квадрат средней погрешности дирекционного угла n-й стороны хода будет равен  При равноточно измеренных углах теодолитного хода  С учетом средней погрешности дирекционного угла исходной стороны хода mα0 указанные выше формулы будут иметь вид:  |
