Интегральный метод оценки устойчивости пластин (Θ-метод)
|
Помимо методов, в которых решаются задачи, непосредственно связанные с конкретными пластинками того или иного очертания, существуют и другие методы, в частности, основанные на аналогиях. К таким методам, например, относится метод изопериметрических неравенств и др. Здесь устойчивость пластинки трапециевидного очертания двусторонне оценивается путем замены ее на эквивалентные пластинки, для которых решения известны. В целом, метод изопериметрических неравенств и другие методы, использующие аналогии, основаны на некоторых общих свойствах исследуемых и эквивалентных пластинок, связанных, в основном, с энергетическими критериями. Ниже предлагается приближенный метод оценки устойчивости пластин, основанный на сравнении интегральных парам, характеризующих напряженное и критическое состояние исследуемых и базовых (эталонных) пластинок, для которых известны точные решения.  Как говорилось ранее, нормами при действии на двутавровый элемент изгибающих моментов и перерезывающих сил, изменяющихся по длине, устойчивость стенки проверяется в некотором расчетном сечении, положение которого определяется в зависимости от величины концевых моментов и размеров отсека (рис. 7). При этом, в качестве расчетного принимается не максимальный момент, а его некоторое расчетное значение, определяемое в соответствии с рис. 4. В этом же месте определяется и величина поперечной силы Q. Таким образом, неравномерно загруженная прямоугольная пластинка (стенка двутавра) (рис. 7 а) заменяется пластинкой с такими же размерами, но загруженной эквивалентными, постоянными по длине, усилиями (рис. 7 в). При наличии нагрузок, приложенных только к торцам элементов, это противоречит законами строительной механики, так как перерезывающая сила и изгибающие моменты связаны соотношением Q = dM/dx и, при равных концевых моментах, поперечная сила должна быть равна нулю. В методе изопериметрических неравенств и в методике норм используется подобие поведения расчетных и эквивалентных пластинок при потере устойчивости. Очевидно, этот метод можно распространить и для трапециевидных стенок элементов рам переменного сечения и, возможно для других задач расчета систем на устойчивость. Предположим, что нам даны две подобные упругие системы (в данном случае стенки двутавровых балок). Под действием внешних нагрузок эти системы деформируются, при этом внешние силы совершают некоторую работу Vi, а в самих системах накапливается потенциальная энергия упругой деформации Ui. В соответствии с энергетическим методом устойчивость системы оценивается путем сравнения потенциальной энергии U и работы внешних сил V. Для оценки введем некоторый параметр (функционал), характеризующий напряженное и критическое состояние системы  Далее рассмотрим две упругие системы: базовую систему S0, решение для которой известны и другую, подобную базовой, систему S1, для которой решения неизвестны. Предположим, что системы S1 и S0 будут подобны по критерию устойчивости, если для них выполняется равенство функционалов  Предположим далее, что если система S0 находится в устойчивом состоянии, то при выполнении условия Ф1 ≤ Ф0 система S1 также будет находится в устойчивом состоянии и наоборот. Такой подход распространим для оценки устойчивости стенок рам переменного сечения. Для этого будем сравнивать некоторые интегральные параметры, характеризующие энергетические параметры пластинок (или косвенно их интерпретирующие), имеющих точные решения и такие же параметры для исследуемой пластинки. В качестве функции, связывающей геометрические параметры стенки и сечение двутавра в целом; внешние нагрузки; напряженное состояние; критические напряжения (нагрузки) и т.д., используем известное условие устойчивости стенки при действии на нее нормальных и касательных напряжений в виде:  Вместо функции (18), может быть использована другая функция, связывающая действующие и критические напряжения, например,  или другие, в лучшей степени соответствующие рассматриваемому напряженному состоянию стенки. Вначале рассмотрим отсек стенки двутавра постоянного сечения, загруженного по концам изгибающими моментами и поперечными силами. Решения для такого случая известны. В соответствии с работой примем, что изгибающие моменты и поперечная сила не изменяются по длине отсека. При этом нормальные и касательные напряжения также будут постоянны по всей длине отсека, т.е. σ(х),0 = const и τ(х),0 = const. Критические напряжения для этого случая определяются по формулам (6) и (7) и, при постоянных параметрах сечения двутавра, будут одинаковы независимо от места их определения. Если подставить эти значения в выражение (18) и вычислить величину θ в различных точках отсека, получим график в виде прямоугольника, с максимальной горизонтальной координатой L и вертикальными координатами, равными θ(х),0 (рис. 7а). В предельном случае θ(х),0 = 1.  Проинтегрировав выражение (20) по длине отсека стенки L, получим некоторый обобщенный параметр, характеризующий состояние базовой (эталонной) стенки двутавра  Поделив выражение (21) на L, найдем безразмерный интегральный параметр:  В докритической стадии Θ0=θ0, в предельном состоянии Θ0=1. Представим, что другой двутавр, имеющий те же размеры, как и базовый (эталонный), загружен меньшими усилиями M1 и Q1 или, наоборот, при тех же усилиях, имеет большую толщину стенки. В первом случае это приведет к снижению напряжений σ(х) и τ(х), а во втором — к увеличению критических напряжений σcr(x) и τcr(x). В обоих случаях это приведет к уменьшению значения выражения (20) (с заменой σ(x),0, τ(x),0, σcr(x),0 на σ(x),1, τ(x),1, σcr(x),1, τcr(x),1) и его интеграла  будет характеризовать насколько стенка исследуемого двутавра будет устойчивее или неустойчивее базовой (эталонной). Таким образом, коэффициент kΘ является коэффициентом использования несущей способности расчетной стенки по сравнению со стенкой, для которой решение известно. При Θ1≤Θ0, kΘ≤1 стенка исследуемого двутавра будет устойчива. При Θ1≥Θ0, kΘ>1, несущая способность стенки исчерпана и она теряет устойчивость. Графически это отображено на рисунке 8 б пунктирными линиями θ(х)1, проходящими, соответственно, ниже или выше линии θ(x)0.  Далее представим, что усилия M и Q уменьшаются от левого края отсека к правому. В этом случае напряжения σ(х) и τ(х) также будут уменьшаться. Соответственно будет уменьшаться и текущий параметр θ(х), определяемый по (18), как это показано на рис. 8 в. Для этого случая Θ1≤Θ0, kΘ≤1 и, в соответствии с принятыми предпосылками, стенка будет устойчива. В обратном случае, при увеличении усилий от правого края к левому Θ1≥Θ0, kΘ≥1 и стенка теряет устойчивость (рис. 8 г). Аналогичные вычисления можно провести и для двутавров с переменной высотой, учитывая при определении действующих и критических напряжений изменение размеров стенки по высоте. Для предельного состояния, выражение (18) и, соответственно (21), равно единице и поэтому, в дальнейшем, величину Θ1 будем сравнивать не с Θ0, а с единицей. В этом случае критерий устойчивости стенки (23) примет вид:  На рис. 9 показаны различные случаи изменения параметра θ(x)1 (пунктирная линия), определяемого по формуле (18) и интегрального критерия Θ1 (заштрихованная область), определяемого по формуле (23) для стенок переменной высоты и при изменении внешних усилий по длине элемента. Изменение параметра показано сплошной линией. Случаи, приведенные на рис. 9 а и 9 б, согласно принятым предположениям, соответствуют устойчивому и неустойчивому состояниям стенки.  Более сложные случаи показаны на рис. 9 в и 9 г, где линии параметра Θ1 находятся как снизу, так и сверху ординаты Θ0=1, что соответствует невыполнению условие устойчивости (18) на некоторой части отсека стенки. Аналогичные ситуации возникают и при расчете стенок на устойчивость по нормам для случаев изменения усилий по длине элемента (см. рис. 4). Несмотря на невыполнение условия устойчивости (18) на части длины отсека, это не приводит к общей потере устойчивости стенки, так как ребра и остальная часть стенки, работающая в докритической стадии, оказывают поддерживающее влияние. Очевидно, это влияние следует учитывать только в тех случаях, когда потеря устойчивости охватывает всю стенку, а не происходит в локальной области (например, для случая отсеков большой протяженности или действия значительных локальных нагрузок). Следуя рекомендациям норм, в дальнейшем длину отсека будет ограничивать величиной (2-3)hef,max, где hef,max — максимальная расчетная высота стенки в отсеке, а оценку устойчивости стенок будем производить, интегрируя выражение (21) и используя условия (24). Для сокращения, в дальнейшем, предлагаемый метод интегральной оценки устойчивости будем называть Θ-методом. Для проверки предлагаемой методики были проведены расчеты стенок двутавров переменного сечения при различных соотношениях высот (hmin/hmax = 0,5; 0,75; 1,0) и концевых изгибающих моментов (Mmin/Mmax = 0-1) (расчеты выполнены инженерами фирмы УНИКОН Г.Н. Рыженковым и К.В. Феоктистовым). Поверочные расчеты производились следующими методами: 1. По нормам согласно рис. 4 (метод 1);. 2. По Θ-методу (метод 2); 3. По методу коэффициентов А.Г. Новинькова (метод 3); 4. По методу конечных элементов (метод 4); 5. По Θ-методу с уточнением величины касательных критических напряжений за счет учета защемления стенки в поясах и направления сдвига (см. рис. 6); нормальных критических напряжений за счет учета числа полуволн; уточнения величины нормальных и касательных напряжений для балок с наклонными поясами и т.д. (метод 5). Во всех случаях учитывалась фактическая поперечная сила, определяемая как Q = dM/dx. В качестве базового был взят двутавр с параллельными поясами при соотношении Mmin/Mmax от 1 до 0. Поперечная сила Q при этом изменялась от нуля до максимума (Qmax = Mmax/L). На рис. 10 а показаны графики изменения внешних критических нагрузок (изгибающих моментов) для базового двутавра, рассчитанные по различным методам. Как видно из рисунка, для двутавров с параллельными полками предлагаемый метод (кривая 2) дает очень хорошее совпадение с нормативной методикой (кривая 1) и практически совпадает с методом коэффициентов А.Г. Новинькова (кривая 3). Уменьшение величины критического момента при Mmin/Mmax→0 объясняется ростом поперечной силы Q, которая оказывает преобладающее действие на устойчивость стенки. На рисунках также показан график изменения поперечной силы Q в зависимости от соотношения Mmin/Mmax. Расчет методом конечных элементов (кривая 4) дал более высокие критические нагрузки, чем по предыдущим расчетам (в среднем на 10—20 %). Это объясняется тем, что при определении критических касательных и нормальных напряжений в нормах, в Θ-методе и методе А.Г. Новинькова были приняты одинаковые упрощающие допущения, идущие в запас устойчивости. При исключении этих допущений расчет по уточненному Θ-методу дает результаты весьма близкие к полученным по МКЭ (кривая 5). Аналогичные расчеты были проведены для двутавра с соотношением Mmin/Mmax=0,75 (рис. 10 б). Для этого случая в нормах отсутствуют какие-либо рекомендации и поэтому результаты Θ-метода сравнивались только с методикой А.Г. Новинькова и МКЭ (рис. 10 б). Как видно и в этом случае наблюдается хорошее совпадение различных способов расчета как по методам 1 и 2, так и уточненного Θ-метода (кривая 5) и МКЭ (кривая 4). Наблюдается некоторое расхождение предлагаемого метода с методом А.Г. Новинькова в области малых значений соотношения Mmin/Mmax<0,5, причем Θ-метод дает значения критических нагрузок «в запас» несущей способности на 5—10%. Сопоставление результатов, полученных уточненным 0-методом с результатами по МКЭ также показывает их хорошее совпадение. При соотношении hmin/hmax=0,5 метод коэффициентов А.Г. Новинькова «не работает» и сравнения велись только с методом конечных элементов. Как видно из графика и в этом случае наблюдается хорошее совпадение уточненного 0-метода и МКЭ (рис. 10 в).  На рис. 10 г показан сводный график изменения критических нагрузок для двутавров с соотношением hmin/hmax = 0,5; 0,75 и 1,0 при Mmin/Mmax=0/1. Сравнивая критические нагрузки для стенок с различным соотношением высот, можно получить обобщенные кривые, показывающие, насколько стенки двутавров переменного сечения устойчивее стенок двутавров постоянного сечения при одинаковом загружении (рис. 11). Как видно из графиков, при соотношении hmin/hmax=0,75 устойчивость повышается в среднем на 10 %, а при hmin/hmax = 0,5 — на 30 %. Обобщая вышесказанное, можно сделать следующие выводы: 1. Для расчета стенок рамных конструкций переменного сечения на местную устойчивость может использоваться предлагаемый метод интегральной оценки (0-метод), основанный на сравнении некоторых парам, характеризующих напряженное и критическое состояние стенки. 2. Проверки предлагаемого метода показали его достаточную для практических расчетов точность в широком диапазоне изменения парам стенки и внешних нагрузок. 3. При применение предлагаемого метода следует ограничивать длину отсека для достижения одновременной потери устойчивости по всей длине пластинки, а также избегать значительных локальных нагрузок.  |
